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Funciones de Bessel

La explicación matemática y la deducción de la funciones de Bessel y su aplicación a frecuencia modulada están fuera del alcance de este documento pero se recomienda por simple curiosidad leer más sobre el tema en [Moore, 1993] o en textos apropiados al tema de radio-frecuencias. Las funciones de Bessel o funciones cilíndricas, se utilizan en la mecánica gravitatoria, pero también se aplican en otros campos como la propagación de ondas electromagnéticas y de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en las series de expansión de la perturbación indirecta de un planeta causada por el movimiento del Sol.

En el caso particular de síntesis de audio, si tenemos un índice $ I=4$, las primeras funciones de Bessel, $ J_0 \cdots J_5$ corresponden a las amplitudes de las bandas laterales en la siguiente manera:

El ancho de banda total es aproximadamente igual al doble de la suma entre la desviación de frecuencias pico $ {d}$ y la frecuencia moduladora $ {m}$ o,

$\displaystyle {{BW}\approx{(d + m)}} ,$


Para fines prácticos es razonable pensar que el numero de bandas laterales producidas a cada lado de la portadora es igual al índice de modulación $ {I}$ mas 2 o $ {SB = (I + 2)}$. Adicionalmente, la posición (i.e. frecuencia) de cada banda lateral se puede calcular a partir de la siguiente norma:

$\displaystyle {C \pm (kM)} ,$

donde $ {k}$ es el orden de la banda lateral y va generalmente de, $ 0 \rightarrow ( I + 2 )$.

Las relaciones acá descritas pueden ser expresadas con la siguiente expansión trigonométrica:

\begin{displaymath}\begin{split}e &= A \{ J_0(I) \sin(\alpha t)  &+ {J_1(I) [ ...
...- { \sin {( \alpha-3\beta) t }} ] }  &+ \cdots \} \end{split}\end{displaymath}    

Es importante notar el cambio de signo en el segundo término en los componentes, que es alternado entre, $ {\pm}$ entre las sumas de orden par o impar.


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